题目内容
（请给出正确答案）
n维欧氏空间V的一个线性变换σ说是反对称的，如果对于任意向量a，β∈V。
证明：
(i)反对称变换关于V的任意规范正交基的矩阵都是反对称的实矩阵(满足条件AT=-A的矩阵叫作反对称矩阵);
(ii)反之，如果线性变换σ关于V的某一规范正交基的矩阵是反对称的，那么σ一定是反对称线性变换;
(iii)反对称实矩阵的特征根或都是零，或者是纯虚数。
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设V是对于非退化对称双线性函数f(α，β)的n维准欧氏空间，V的一组基ε1，...，εn如果满足
则称为V的一组正交基。如果V上的线性变换
满足
则称为V的一个准正交变换。试证：
1)准正交变换是可逆的，且逆变换也是准正交变换;
2)准正交变换的乘积仍是准正交变换;
3)准正交变换的特征向量α，若满足f(α，α)≠0，则其特征值等于1或-1;
4)准正交变换在正交基下的矩阵T满足
设V是复数域上一个n维向量空间，σ是V的一个线性变换。令
是定理1的那个准素分解，令W是V的一个在σ之下不变的子空间。证明：
这里Wi=W∩V，i=1，2，...，k。
设{α1，α2，···，αn}和{β1，β2，···，βn}是n维欧氏空间V的两个规范正交基。
(i)证明：存在V的一个正交变换σ，使σ(αi)=βi，i=1，2，...，n;
(ii)如果V的一个正交变换τ使得τ(α1)=β1，那么τ(α2)，···，τ(αn)所生成的子空间与由β2，···，βn所生成的子空间重合。
设V是复数域上的n维线性空间，
是V的线性变换，且
证明：
1)如果λ0是
的一特征值，那么
的不变子空间;
2)至少有一个公共的特征向量。
设
是欧氏空间V的一个变换。证明：如果保持内积不变，即对于α，β∈V，
，那么它一定是线性的，因而它是正交变换。
