设f(x1,x2,···,xn)=X'AX是一实二次型,λ1,λ2,···,λn是A的特征多项式的根,且λ1≤λ2≤···≤λn。证明:对任一X∈Rn,有
设V是复数域上的n维线性空间,是V的线性变换,且
证明:
1)如果λ0是的一特征值,那么
的不变子空间;
2)至少有一个公共的特征向量。
(1)试证明下面的算法Primality能以80%以上的正确率判定给定的整数n是否为素数.另一方面,举出整数n的一个例子,表明算法对此整数n总是给出错误的解答,进而说明该算法不是一个蒙特卡罗算法.
(2)试找出,上述算法Primality中可用于替换整数30030的另一个整数(可使用大整数),使得用此整数代替30030后,算法的正确率提高到85%以上.
用Eij表示i行j列的元素为1,而其余元素全为零的nxn矩阵,A=(aij)nxn。证明:
1)如果AE12=E12A,那么当k≠1时ak1=0,当k≠2时a2k=0;
2)如果AEij=EijA,那么当k≠i时aki=0,当k≠j时ajk=0,且aii=ajj;
3)如果A与所有的n级矩阵可交换,那么A一定是数量矩阵,即A=aE。
(1)试举出一个个体域及两种解释,分别证明第4题之(1)、(2)的逆不能成立.
(2)证明下列推理无效.
设平面π1与π2不平行,它们的方程分别为
证明:过π1与π2的交线的所有平面的方程都可以表示成
其中λ和μ为不全为零的实数。