给定个体域D和D上的解释I,称D上n元有序组集合D}为可定义的,如果存在含n个自由变元的谓词公式a(x1,x2,...,xn),a(x1,x2,...,xn)在域D和解释I下为真当且仅当对x1,x2,...,xn的賦值d1,d2,...,dn满足.已知n元有序组集合A,B都是可定义的,请证明:
(1)AUB是可定义的.
(2)A-B是可定义的.
(3)n-1元有序组集合存在某个d使得是可定义的.
设个体域D={a,b,c},在D中消去公式的量词。甲、乙用了不同的演算过程。
显然,乙的演算过程简单些。试指出乙在演算过程中的关键步骤。
给定公式
(1)在解释I1中,个体域D1={a},证明公式A在I1下的真值为1.
(2)在解释I2中,个体域D2={a1,a2,…,an},n≥2,A在I2下的真值还一定是1吗? 为什么?
且P(A)>0,证明:对每一个i(i=1,2,...,n),
此式称作贝叶斯(Bayes)公式.
设V是复数域上一个n维向量空间,σ是V的一个线性变换。令是定理1的那个准素分解,令W是V的一个在σ之下不变的子空间。证明:这里Wi=W∩V,i=1,2,...,k。
设A是复数域C上一个n阶矩阵,λ1,λ2,···,λn是A的全部特征根(重根按重数计算)。
(i)如果f(x)是C上任意一个次数大于零的多项式,那么f(λ1),f(λ2),···,f(λn)是f(A)的全部特征根;
(ii)如果A可逆,那么λi≠0,i=1,2,...,n,并且是A-1的全部特征根。