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[主观题]
设σ是空间的第一类的正交变换,证明:对于空间的任意两个向量v1,v2,有(1)σ(v1)-σ(v2)=v1·v2;(2)σ(v1)×σ(v2)=o(v1×v2).
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设是欧氏空间V的一个变换。证明:如果
保持内积不变,即对于α,β∈V,
,那么它一定是线性的,因而它是正交变换。
设{α1,α2,···,αn}和{β1,β2,···,βn}是n维欧氏空间V的两个规范正交基。
(i)证明:存在V的一个正交变换σ,使σ(αi)=βi,i=1,2,...,n;
(ii)如果V的一个正交变换τ使得τ(α1)=β1,那么τ(α2),···,τ(αn)所生成的子空间与由β2,···,βn所生成的子空间重合。
设V是对于非退化对称双线性函数f(α,β)的n维准欧氏空间,V的一组基ε1,...,εn如果满足
则称为V的一组正交基。如果V上的线性变换满足
则称为V的一个准正交变换。试证:
1)准正交变换是可逆的,且逆变换也是准正交变换;
2)准正交变换的乘积仍是准正交变换;
3)准正交变换的特征向量α,若满足f(α,α)≠0,则其特征值等于1或-1;
4)准正交变换在正交基下的矩阵T满足
设V是复数域上的n维线性空间,是V的线性变换,且
证明:
1)如果λ0是的一特征值,那么
的不变子空间;
2)至少有一个公共的特征向量。
设V是复数域上一个n维向量空间,σ是V的一个线性变换。令是定理1的那个准素分解,令W是V的一个在σ之下不变的子空间。证明:
这里Wi=W∩V,i=1,2,...,k。