取解释I为:个体域为D={a},F(x):x具有性质F,在I下的真值为()。
取解释I为:个体域为D={a},F(x):x具有性质F,在I下的真值为()。
取解释I为:个体域为D={a},F(x):x具有性质F,在I下的真值为()。
给定个体域D和D上的解释I,称D上n元有序组集合D}为可定义的,如果存在含n个自由变元的谓词公式a(x1,x2,...,xn),a(x1,x2,...,xn)在域D和解释I下为真当且仅当对x1,x2,...,xn的賦值d1,d2,...,dn满足.已知n元有序组集合A,B都是可定义的,请证明:
(1)AUB是可定义的.
(2)A-B是可定义的.
(3)n-1元有序组集合存在某个d使得是可定义的.
设A是复数域C上一个n阶矩阵,λ1,λ2,···,λn是A的全部特征根(重根按重数计算)。
(i)如果f(x)是C上任意一个次数大于零的多项式,那么f(λ1),f(λ2),···,f(λn)是f(A)的全部特征根;
(ii)如果A可逆,那么λi≠0,i=1,2,...,n,并且是A-1的全部特征根。
计算下列二重积分:
(1)其中D为矩形域:0≤x≤π,1≤y≤e;
(2)其中D为矩形域:0≤x≤π/4,0≤y≤π/4;
(3),其中D为由抛物线x=√(1-y)与直线x=0,y=0所围成的区域;
(4),其中D为由(x-a)2+(y-a)2=a2的下半圆与直线x=0、y=0所围成的区域;
(5),其中D为矩形域:-1≤x≤1,0≤y≤1;
(6),其中D为圆域:x2+y2≤x;
(7)其中D为由曲线y=x3与直线x=-1、y=1所围成的区域,f是D上的连续函数;
(8),其中D为由不等式x2+y2≥2和x2+y2≤2x所围成的区域。
证明:恰有i个映射f;Ni-Ni使得
(1)f(0)=0;
(2)f为的同态(f具有以下形式f(x)=px(modi),p=0.1,2,...,i-1);
(3)以<N3+3>为例,给出所有满足(1),(2)要求的3个同态映射f;
(4)给出所有满足f(0)=0的<N3+3>到的同态f;
(5)给出所有满足f(0)=0的<N3+3>到的同态f.
(1)试举出一个个体域及两种解释,分别证明第4题之(1)、(2)的逆不能成立.
(2)证明下列推理无效.
设函数f(x,y,z)在区域内连续.若对于Ω内任意有界子域w,都有
证明f(x,y,z)=0,其中.
令A是数域F上一个n阶反对称矩阵,即满足条件AT=-A。
(i)A必与如下形式的一个矩阵合同:
(ii)反对称矩阵的秩一定是偶数;
(iii)F上两个n阶反对称矩阵合同的充要条件是它们有相同的秩。