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[主观题]
设σ是数域F上n维向量空间V到自身的一个线性映射。W1，W2是V的子空间，并且V=W1⊕W2。证明：σ有逆映射的充要条件是V=σ（W1)⊕σ（W2)。
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设V是复数域上的n维线性空间，
是V的线性变换，且
证明：
1)如果λ0是
的一特征值，那么
的不变子空间;
2)至少有一个公共的特征向量。
。则或者b1=b2=...=bm=0，或者b1，b2，...，bm皆不为零。在后者的情形，若有另一组数c1，c2，...，cm使
。
设V是对于非退化对称双线性函数f(α，β)的n维准欧氏空间，V的一组基ε1，...，εn如果满足
则称为V的一组正交基。如果V上的线性变换
满足
则称为V的一个准正交变换。试证：
1)准正交变换是可逆的，且逆变换也是准正交变换;
2)准正交变换的乘积仍是准正交变换;
3)准正交变换的特征向量α，若满足f(α，α)≠0，则其特征值等于1或-1;
4)准正交变换在正交基下的矩阵T满足
在给定了空间直角坐标系的三维空间中，所有自原点引出的向量添上零向量构成一个三维线性空间R3。
1)问所有终点都在一个平面上的向量是否为子空间？
2)设有过原点的三条直线，这三条直线上的全部向量分别成为三个子空间L1，L2，L3。问L1+L2，L1+L2+L3能构成哪些类型的子空间，试全部列举出来。
3)试用几何空间的例子来说明：若U，V，X，Y是子空间，满足U+V=X，X
Y，是否一定有Y=Y∩U+Y∩V。
设
是某一数域F上多项式
在复数域内的全部根。证明：
的每一个对称多项式都可以表成F上关于α1的多项式。
设
是欧氏空间V的一个变换。证明：如果保持内积不变，即对于α，β∈V，
，那么它一定是线性的，因而它是正交变换。
(I)求复数域上线性空间V的线性变换
的特征值与特征向量，已知在一组基下的矩阵为：
(II)在(I)中哪些变换的矩阵可以在适当的基下化成对角形？在可以化成对角形的情况，写出相应的基变换的过渡矩阵T，并验算T-1AT。
基干以下题干：
8名物理系的学生——其中有4名是专业的：F、G、H、J，另外4名是非专业的：V、 W、X、Y——被安排到4个从1到4为编号的实验室的长凳上。每一个长凳恰好安排2名学生，这些学生的座位安排必须遵循以下条件：
(1)每一个长凳上必须恰好有一个专业学生；
(2)F和J被安排到2个编号连续的长凳上，且F被安排到编号较低的那个长凳上；
(3)F和V安排在同一个长凳上：
(4)G和W不能安排在同一个长凳上。
下面哪一项对学生座位的安排是可以接受的？？？？4
A．F ？J ？H ？X Y
B．G ？F ？J ？H V
C．H ？G ？F ？J Y
D．H ？J ？F ？G Y
