设σ是数域F上n维向量空间V到自身的一个线性映射。W1,W2是V的子空间,并且V=W1⊕W2。证明:σ有逆映射的充要条件是V=σ(W1)⊕σ(W2)。
设V是复数域上的n维线性空间,是V的线性变换,且证明:
1)如果λ0是的一特征值,那么的不变子空间;
2)至少有一个公共的特征向量。
设V是对于非退化对称双线性函数f(α,β)的n维准欧氏空间,V的一组基ε1,...,εn如果满足
则称为V的一组正交基。如果V上的线性变换满足
则称为V的一个准正交变换。试证:
1)准正交变换是可逆的,且逆变换也是准正交变换;
2)准正交变换的乘积仍是准正交变换;
3)准正交变换的特征向量α,若满足f(α,α)≠0,则其特征值等于1或-1;
4)准正交变换在正交基下的矩阵T满足
在给定了空间直角坐标系的三维空间中,所有自原点引出的向量添上零向量构成一个三维线性空间R3。
1)问所有终点都在一个平面上的向量是否为子空间?
2)设有过原点的三条直线,这三条直线上的全部向量分别成为三个子空间L1,L2,L3。问L1+L2,L1+L2+L3能构成哪些类型的子空间,试全部列举出来。
3)试用几何空间的例子来说明:若U,V,X,Y是子空间,满足U+V=X,XY,是否一定有Y=Y∩U+Y∩V。
设是某一数域F上多项式在复数域内的全部根。证明:的每一个对称多项式都可以表成F上关于α1的多项式。
设是欧氏空间V的一个变换。证明:如果保持内积不变,即对于α,β∈V,,那么它一定是线性的,因而它是正交变换。
(I)求复数域上线性空间V的线性变换的特征值与特征向量,已知在一组基下的矩阵为:
(II)在(I)中哪些变换的矩阵可以在适当的基下化成对角形?在可以化成对角形的情况,写出相应的基变换的过渡矩阵T,并验算T-1AT。
基干以下题干:
8名物理系的学生——其中有4名是专业的:F、G、H、J,另外4名是非专业的:V、 W、X、Y——被安排到4个从1到4为编号的实验室的长凳上。每一个长凳恰好安排2名学生,这些学生的座位安排必须遵循以下条件:
(1)每一个长凳上必须恰好有一个专业学生;
(2)F和J被安排到2个编号连续的长凳上,且F被安排到编号较低的那个长凳上;
(3)F和V安排在同一个长凳上:
(4)G和W不能安排在同一个长凳上。
下面哪一项对学生座位的安排是可以接受的????4
A.F ?J ?H ?X Y
B.G ?F ?J ?H V
C.H ?G ?F ?J Y
D.H ?J ?F ?G Y