题目内容
(请给出正确答案)
[单选题]
设λ1,λ2是n阶矩阵A的两个不同的特征值,a与β是分别属于λ1,λ2的特征向量,则有a与β是()。
A.线性相关
B.线性无关
C.对应分量成比例
D.可能有零向量
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A.线性相关
B.线性无关
C.对应分量成比例
D.可能有零向量
设A是复数域C上一个n阶矩阵,λ1,λ2,···,λn是A的全部特征根(重根按重数计算)。
(i)如果f(x)是C上任意一个次数大于零的多项式,那么f(λ1),f(λ2),···,f(λn)是f(A)的全部特征根;
(ii)如果A可逆,那么λi≠0,i=1,2,...,n,并且是A-1的全部特征根。
A.#图片0$#
B.#图片1$#
C.若
D.B均为可逆矩阵,则#图片2$#
E.若
F.F.B均为可逆矩阵,则#图片3$#
设A是n阶非奇异矩阵,α是n×l列矩阵,b为常数,记分块矩阵。
(1)计算并化简PQ;
(2)证明:矩阵Q可逆的充分必要条件是αTA-1α≠b。
设A为n阶矩阵,r(A)=1,证明:
(1)
(2)A2=kA(k为一常数)。
设A为n阶实对称矩阵,R(A)=n; 二次型
(1)求二次型f的阵
(2) 二次型的规范形是否相同?说明理由.
证明:设A,B都是n阶正交方阵,则
(1)|A|=1或-1(2)AT,A-1,AB也是正交方阵。
(2) A正交方阵,得ATA=E,由AAT=E得AT正交方阵。又A-1=AT, 故A-1正交方阵。A,B是n阶正交矩阵,故A-1=AT,B-1=BT。(AB)T(AB) =BTATAB=B-1A-1AB=E, 故AB也是正交方阵。
,二次型
(1)记X=(x1,x2,···,xn)T,试写出二次型f(x1,x2,···,xn)的矩阵形式。
(2)判断二次型g(X)=XTAX与f(X)的规范形是否相同,并说明理由。