把三重积分f(x,y,z)dV化为三次积分,其中分别是:
(1)由平面x=1、x=2、z=0、y=x和z=y所围成的区域;
(2)由柱面x=4-y2与平面x+2y=4、x=0、z=0所围成的区域;
(3)由抛物面z=x2+y2和锥面z=√(x2+y2)所围成的区域;
(4)由两拋物面z=3x2+y2和z==4-x2-3y2所围成的区域。
在柱面坐标系中或球面坐标系中计算下列三重积分:
(1),其中Ω是由曲面x2+y2=z和平面z=1所围成的区域;
(2)(x2+y2+z2)dV,其中Ω是由曲面z=和平面z=所围成的区域;
(3),其中Ω是由曲面x=和平面x=0、z=0、z=1所围成的区域;
(4),其中Ω是球壳1/4≤x2+y2+z2≤1在第一卦限中的部分。
化三重积分f(x,y,z)drdydz为三次积分,其中积分区域分别是:
(2)由曲面x=x'+2y2及z=2-x2围成的闭区域.
计算下列第二型曲面积分:
(1)其中S是由平面x=0,y=0,z=0与x+y+z=1所围四面体的外侧。
(2)其中S是柱面x2+y2=a2(0≤z≤1)的外侧。
(3)其中S是圆锥面z=√(x2+y2)(0≤z≤h)的下侧。
(4),其中S是由锥面z=√(x2+y2)与平面z=1,z=2所围立体边界曲面的外侧。
计算下列二重积分:
(1)其中D为矩形域:0≤x≤π,1≤y≤e;
(2)其中D为矩形域:0≤x≤π/4,0≤y≤π/4;
(3),其中D为由抛物线x=√(1-y)与直线x=0,y=0所围成的区域;
(4),其中D为由(x-a)2+(y-a)2=a2的下半圆与直线x=0、y=0所围成的区域;
(5),其中D为矩形域:-1≤x≤1,0≤y≤1;
(6),其中D为圆域:x2+y2≤x;
(7)其中D为由曲线y=x3与直线x=-1、y=1所围成的区域,f是D上的连续函数;
(8),其中D为由不等式x2+y2≥2和x2+y2≤2x所围成的区域。
计算下列第一型曲面积分:
(1)其中S为平面在第一卦限的部分;
(2),其中S是曲面z=x+y2,0≤x≤1,0≤y≤2;
(3),其中S为球面x2+y2+z2=a2;
(4)其中S为锥面z=√(x2+y2)被柱面x2+y2=2ax所截得的有限部分。
计算高斯积分其中S为光滑封闭曲面,n为S上动点P处的单位外法向量,点,r为连接点(a,b,c)与动点(x,y,z)的向量,r=|r|