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证明:若函数项级数![证明:若函数项级数在开区间（a,b)一致收敛于和函数S（x),且函数un（x)在闭区间[a,b]连续](https://img2.soutiyun.com/ask/2020-11-13/974118792493305.jpg)
在开区间(a,b)一致收敛于和函数S(x),且![证明:若函数项级数在开区间（a,b)一致收敛于和函数S（x),且函数un（x)在闭区间[a,b]连续](https://img2.soutiyun.com/ask/2020-11-13/974118807719176.png)
函数un(x)在闭区间[a,b]连续,则和两数S(x)在闭区间[a,b]连续.
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设有函数序列fn(x)(a≤x≤b,n=1,2,...证明:
(1)若每一个函数fn(x)都在区间[a,b]上连续,而丽数序列fn(x)在[a,b]上一致收敛于极限函数f(x),则函数f(x)在区间[a,b]上也连续,且
(2)若
,又每一个函数fn(x)都有连续的导数f'n(x),且导函数列f'n(x)在区间[a,b]上一致收敛,则极限函数f(x)在区间[a,b]上也有连续的导数f'(x),且
,即
[可以直接证明,也可以利用函数项级数的相应结论来证明]
设un(x)(n=1,2,...)是[a,b]上的单调函数.证明:若
与
都绝对收敛,则级数
在[a,b]上绝对且一致收敛.
证明:若函数f(x)在[a,+∞)连续,且
其中b是零常数,则函数f(x)在[a,+∞)一致连续.
证明:若函数f(x)在无限区间(-∞,+∞)内连续,且有极限
和
则(x)在区间(-∞,+∞)内一致连续.
证明:若函数f(x)在(a,+∞)可导,且
有|f´(x)|≤M,其中M是常数,则f(x)在(a,+∞)一致连续.
设{un}(x)为[a,b]上正的递减且收敛于零的函数列,每个un(x)都是[a,b]上的单调函数.则级数
在[a,b]上一致收敛.
证明定理16.3.2的推论16.3.1：
是某个可积或绝对可积函数的Fourier级数的必要条件是
收敛。
