题目内容
(请给出正确答案)
[主观题]
有一个n×n的对称矩阵A[][],将其上三角部分按列压缩存放于一个一维数组B中,A[0][0]存放于B[0]
中:
同时有两个函数:max(i,j)和min(i,j),分别计算下标i和j中的大者与小者。试利用它们给出求任意一个A[i][j]在B中存放位置的公式。
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同时有两个函数:max(i,j)和min(i,j),分别计算下标i和j中的大者与小者。试利用它们给出求任意一个A[i][j]在B中存放位置的公式。
令A是数域F上一个n阶反对称矩阵,即满足条件AT=-A。
(i)A必与如下形式的一个矩阵合同:
(ii)反对称矩阵的秩一定是偶数;
(iii)F上两个n阶反对称矩阵合同的充要条件是它们有相同的秩。
设V是对于非退化对称双线性函数f(α,β)的n维准欧氏空间,V的一组基ε1,...,εn如果满足
则称为V的一组正交基。如果V上的线性变换满足
则称为V的一个准正交变换。试证:
1)准正交变换是可逆的,且逆变换也是准正交变换;
2)准正交变换的乘积仍是准正交变换;
3)准正交变换的特征向量α,若满足f(α,α)≠0,则其特征值等于1或-1;
4)准正交变换在正交基下的矩阵T满足
n维欧氏空间V的一个线性变换σ说是反对称的,如果对于任意向量a,β∈V。
证明:
(i)反对称变换关于V的任意规范正交基的矩阵都是反对称的实矩阵(满足条件AT=-A的矩阵叫作反对称矩阵);
(ii)反之,如果线性变换σ关于V的某一规范正交基的矩阵是反对称的,那么σ一定是反对称线性变换;
(iii)反对称实矩阵的特征根或都是零,或者是纯虚数。
检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间。
(1)2阶反对称(上三角)矩阵,对于矩阵的加法和数量乘法;
(2)平面上全体向量,对于通常的加法和如下定义的数量乘法:
(3)2阶可逆矩阵的全体,对于通常矩阵的加法与数量乘法;
(4)与向量(1,1,0)不平行的全体3维数组向量,对于数组向量的加法与数量乘法。