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设n维线性空间V可分解成子空间M,N的直和:,有惟一的分解式α=α1+α2(α1∈M,α2∈N).定义映射:T:V→M为T(α)=α1,称T
设n维线性空间V可分解成子空间M,N的直和:,有惟一的分解式α=α1+α2(α1∈M,α2∈N).定义映射:T:V→M为T(α)=α1,称T为由V到子空间M(关于直和分解式
)的投影变换.说明:
(1) T为线性变换;
(2) T2=T;
(3) 若M≠N,则T不可逆;
(4) 若T1为由V到子空间N的投影变换,则TT1=T1T=0.
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设n维线性空间V可分解成子空间M,N的直和:,有惟一的分解式α=α1+α2(α1∈M,α2∈N).定义映射:T:V→M为T(α)=α1,称T为由V到子空间M(关于直和分解式
)的投影变换.说明:
(1) T为线性变换;
(2) T2=T;
(3) 若M≠N,则T不可逆;
(4) 若T1为由V到子空间N的投影变换,则TT1=T1T=0.
设V是复数域上的n维线性空间,是V的线性变换,且
证明:
1)如果λ0是的一特征值,那么
的不变子空间;
2)至少有一个公共的特征向量。
在给定了空间直角坐标系的三维空间中,所有自原点引出的向量添上零向量构成一个三维线性空间R3。
1)问所有终点都在一个平面上的向量是否为子空间?
2)设有过原点的三条直线,这三条直线上的全部向量分别成为三个子空间L1,L2,L3。问L1+L2,L1+L2+L3能构成哪些类型的子空间,试全部列举出来。
3)试用几何空间的例子来说明:若U,V,X,Y是子空间,满足U+V=X,XY,是否一定有Y=Y∩U+Y∩V。
设{α1,α2,···,αn}和{β1,β2,···,βn}是n维欧氏空间V的两个规范正交基。
(i)证明:存在V的一个正交变换σ,使σ(αi)=βi,i=1,2,...,n;
(ii)如果V的一个正交变换τ使得τ(α1)=β1,那么τ(α2),···,τ(αn)所生成的子空间与由β2,···,βn所生成的子空间重合。
设V是复数域上一个n维向量空间,σ是V的一个线性变换。令是定理1的那个准素分解,令W是V的一个在σ之下不变的子空间。证明:
这里Wi=W∩V,i=1,2,...,k。
设是数域P上n维线性空间V的一个线性变换,证明:
1)在P[x]中有一次数≤n2的多项式f(x),使
2)如果,那么
这里d(x)是f(x)与g(x)的最大公因式;
3)可逆的充分必要条件是,有一常数项不为零的多项式f(x)使
设W是线性空间V的子空间,为α模W的同余类。试证α1∈
当且仅当存在β∈W使得
α1=α+β
注:由此,将记作α +W={α+β|β∈W}并称为α关于W的陪集(或傍集)
设ε1,ε2,...,εn是线性空间V的一组基,是V上的线性变换,证明:
可逆当且仅当
线性无关。