试证明: 设m(E)<∞,{fk(x)}在E上依测度收敛于f(x),{gk(x)}在E上依测度收敛于g(x),则{fk(x)·gk(x)}在E上依测
试证明:
设m(E)<∞,{fk(x)}在E上依测度收敛于f(x),{gk(x)}在E上依测度收敛于g(x),则{fk(x)·gk(x)}在E上依测度收敛于f(x)·g(x).若m(E)=+∞,则结论不一定真.
试证明:
设m(E)<∞,{fk(x)}在E上依测度收敛于f(x),{gk(x)}在E上依测度收敛于g(x),则{fk(x)·gk(x)}在E上依测度收敛于f(x)·g(x).若m(E)=+∞,则结论不一定真.
设f(x),f1(x),f2(x),…,fk(x),…是E上几乎处处有限的可测函数,且m(E)<∞,若在{fk(x)}的任一子列{fki(x)}中均存在几乎处处收敛于f(x)的子列{fk(x)},试证明{fk(x)}在E上依测度收敛于f(x).
试证明:
设.若{fk(x)}在E上依测度收敛于0,{gk(x)}在E上依测度收敛于0,则{fk(x)gk(x)}在E上依测度收敛于0.
试证明:
设.若对任意的x∈E,存在开球B(x,δx),使得m*(E∩B(x,δx))=0,则m*(E)=0.
试证明:
设集合.若对任意的x∈E,存在开球B(x,δx),使得m(E∩B(x,δx))=0,则m(E)=0.
试证明:
设f(x),g(x)是E上的可测函数,m(E)<+∞.若f(x)+g(y)在E×E上可积,则f∈L(E),g∈L(E)
设f(x)是E上几乎处处有限的可测函数,m(E)<+∞,试证明对任意的ε>0,存在E上的有界可测函数g(x),使得
m({x∈E:|f(x)-g(x)|>0})<ε.
试证明:
设α>2,作R1中点集:
E={x:存在无限个分数p/q,p与q是互素的自然数,
使得|x-p/q|<1/qα},
则m(E)=0.
设fn∈Lp(E)(1≤p<∞,n∈N),试证明下列命题等价:
(i)存在f∈Lp(E),使得
.
(ii)存在f∈Lp(E),使得fn(x)在E上依测度收敛于f(x),而且Γ={|fn(x)|p}具有积分一致绝对连续性,即对任给ε>0,存在δ>0,使得
(n∈N,且m(e)<δ).
设Hamiton量,试证明下列求和规则
x是r的一个分量,是对一切束缚定态求和,En是相应于n态的能量本征值,H|n〉=En|n〉[提示:计算[[H,x],x],求〈m|[[H,x],x]|m〉.]
(h+q2),(h+(q-1)2),…,(h+1),h,(h-1),…,(h-q2*),其中,q=(m-1)/2。闪此在相继被探查的两个桶之间地址相减所得的差取模(%m)的结果为m-2,m-4,m-6.…,5,3,1,1,3,5,…,m-6,m-4,m-2,
设m*(E)<∞,试证明存在Gδ型集H:,使得对于任一可测集A,都有m*(E∩A)=m(H∩A).