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试证下面的定理: 设f(z)=u(r,θ)+iv(r,θ),z=reiθ, 若u(r,θ),v(r,θ)在点(r,θ)是可微的,且满足极
试证下面的定理: 设f(z)=u(r,θ)+iv(r,θ),z=reiθ, 若u(r,θ),v(r,θ)在点(r,θ)是可微的,且满足极坐标的C.一R方程:
注:这里要适当割破z平面(如沿负实轴割破),否则θ(z)就不是单值的.
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试证下面的定理: 设f(z)=u(r,θ)+iv(r,θ),z=reiθ, 若u(r,θ),v(r,θ)在点(r,θ)是可微的,且满足极坐标的C.一R方程:
注:这里要适当割破z平面(如沿负实轴割破),否则θ(z)就不是单值的.
若函数u=F(x,y,z)满足恒等式F(tx,ty,tz)=tkF(x,y,z)(k>0),则称F(x,y,z)为k次齐次函数.试证下述关于齐次函数的欧拉定理:可微函数F(x,y,z)为k次齐次函数的充要条件是
xFx(x,y,z)+yFy(x,y,z)+zFz(x,y,z)=kF(x,y,z).
证明下列各题:
(1)设F(u,v)有连续的偏导数,方程F(cx-az,cy-bz)=0确定函数z=f(x,y).试证:
(2)方程确定z是x,y的函数,f有连续的偏导数,且
.求证:
(设
用复合函数求导法计算
)
试证:在定理5.1的条件下,如果φ(z)在闭区域D上解析,且α1,α2,...αm及β1,β2,...βn分別是f(z)在D内的零点和级点,而其阶数分别是k1,k2....kn及l1,l2...ln,那么:
设
试证存在u(x),v(x)满足
使得u(x)f(x) + v(x)g(x)=(f(x),g(x).)
设函数f(u),g(u)连续、可微,且f(u)≠g(u).试证方程
yf(xy)dx+xg(xy)dy=0
有积分因子μ={xy[f(xy)-g(xy)]}-1.
设(1)f(z)在区域D内解析; (2)在某一点z0∈D有 f(n)(z0)=0,n=1,2,… 试证f(z)在D内必为常数.